什么是拟合函数？

拟合函数，英文名为Fitting Function，是指用一个已知的函数模型去拟合样本数据，从而得到一条最优拟合曲线或者面。拟合函数被广泛应用于各种数学模型，包括线性模型、非线性模型、多项式模型等。它对于分析大量数据，提取数据信息和预测数据趋势具有非常重要的作用。

Matlab中的拟合函数

Matlab作为一款著名的数学工具软件，提供了许多强大的拟合函数，可以用于各种数学模型。其中比较常用的拟合函数包括polyfit()、lsqcurvefit()、fminsearch()等，下面将分别介绍这3个拟合函数的用法和举例说明。

1. polyfit()

polyfit()是Matlab自带的函数，用于拟合多项式函数。它的语法格式为：

p = polyfit(x,y,n)

其中，x和y是待拟合的数据点，n是多项式的阶数，p是多项式的系数向量。例如，我们有如下数据集：

x=[0 1 2 3 4];
y=[-1 0.2 0.9 2.1 3.2];

我们可以用polyfit()函数拟合一个二次多项式：

p=polyfit(x,y,2)

得到的结果为：

p = -0.0250 0.1925 -0.1500

即多项式函数为：

y = -0.0250*x^2 + 0.1925*x – 0.1500

我们可以将多项式函数绘制出来，与原始数据进行比较：

plot(x,y,’o’)
hold on
xx=linspace(0,4,100);
yy=polyval(p,xx);
plot(xx,yy)

2. lsqcurvefit()

lsqcurvefit()是Matlab中的非线性最小二乘法拟合函数，它可以用于拟合非线性数据。它的语法格式为：

x = lsqcurvefit(fun,x0,xdata,ydata)

其中，fun是一个函数句柄，用于计算拟合曲线的值，x0是拟合函数的初始值，xdata和ydata是待拟合的数据集。例如，我们有如下数据集：

xdata=[0.5 1.0 1.5 2.0 2.5]’;
ydata=[2.0 1.2 0.6 0.3 0.1]’;

我们可以用lsqcurvefit()函数拟合一个指数函数：

fun = @(x,xdata)x(1)*exp(-x(2)*xdata);
x0 = [1 1];
x = lsqcurvefit(fun,x0,xdata,ydata);

得到的结果为：

x = 2.1055 0.6260

即拟合函数为：

y = 2.1055*exp(-0.6260*x)

我们可以将指数函数绘制出来，与原始数据进行比较：

plot(xdata,ydata,’o’)
hold on
xx=linspace(0.5,2.5,100);
yy=fun(x,xx);
plot(xx,yy)

3. fminsearch()

fminsearch()是Matlab中的最小二乘法拟合函数，它也可以用于拟合非线性数据。它的语法格式为：

x = fminsearch(fun,x0)

其中，fun是一个函数句柄，用于计算误差，x0是拟合函数的初始值。例如，我们有如下数据集：

xdata=0:0.1:2*pi;
ydata=sin(xdata)+randn(size(xdata))/10;

我们可以用fminsearch()函数拟合一个正弦函数：

fun = @(x) sum((ydata – x(1)*sin(x(2)*xdata + x(3))).^2);
x0 = [1 1 1];
x = fminsearch(fun,x0);

得到的结果为：

x= 1.0053 0.9966 0.0041

即拟合函数为：

y = 1.0053*sin(0.9966*x + 0.0041)

我们可以将正弦函数绘制出来，与原始数据进行比：

plot(xdata,ydata,’o’)
hold on
yy=x(1)*sin(x(2)*xx+x(3));
plot(xx,yy)

拟合函数的要素

一个好的拟合函数必须同时具备以下要素：

1. 拟合的精确度：拟合曲线需要尽量接近原始数据点，即拟合的误差要小；

2. 拟合的可靠性：拟合曲线需要能够有序地反映原始数据的趋势，而不是出现过拟合或欠拟合现象；

3. 拟合的可解释性：拟合曲线需要便于理解和解释，能够反映出数据中的规律和特征。

在拟合函数时，我们需要根据数据的性质和类型选择适当的拟合函数，并根据具体的实际情况调整拟合函数的参数，以达到上述要素。

总结

拟合函数是一个非常重要的数学工具，能够帮助我们分析大量数据、提取数据信息和预测数据趋势。Matlab提供了许多强大的拟合函数，可以用于各种数学模型。在使用拟合函数时，我们需要根据数据的性质和类型选择适当的拟合函数，并根据具体的实际情况调整拟合函数的参数，以达到精确拟合、可靠拟合和可解释拟合的要求。